4º módulo: as diversas lógicas da adição e da subtração

O psicólogo francês Gérard Vergnaud, referência na Didática da Matemática, afirma que para ensinar essa disciplina é fundamental compreender como os alunos constroem os conhecimentos, visto que isso permite prever formas mais eficientes de trabalhar os conteúdos. No campo aditivo, por exemplo, é preciso ter em mente que o estudante pode realizar operações variadas, de somar e subtrair, para resolver um problema, e isso tem de ser respeitado. O quarto módulo da série de encartes de formação em Matemática, desenvolvido por Priscila Monteiro, consultora pedagógica da Fundação Victor Civita (FVC), propõe a discussão do assunto, abordando temas como a interpretação de enunciados, as estratégias de resolução, os tipos de problema apresentados, os diferentes momentos do trabalho matemático e as intervenções do professor.

Objetivo geral do projeto de formação
Formar professores do 1º ao 5º ano para trabalhar com os conteúdos de Matemática do primeiro segmento do Ensino Fundamental.

Objetivos específicos do 3º módulo
- Ampliar o leque de problemas de adição e subtração para propor aos alunos.
- Trabalhar questões que envolvam os diferentes sentidos dessas operações, como juntar, agregar, ganhar, avançar, tirar, perder e retroceder.
- Analisar as diversas relações que os alunos colocam em jogo ao resolver problemas.
- Propor desafios que sejam ajustados aos conhecimentos que as crianças dispõem e aos que se espera que coloquem em ação.
- Considerar as variáveis que interferem na complexidade das situações de adição e subtração ao planejar as aulas.

Conteúdos 
- Análise de enunciados.
- Diferentes sentidos de adição e subtração.
- Estratégias de cálculo para resolver problemas de adição e subtração.

Tempo estimado
Dois meses (cinco reuniões de duas horas cada uma)

Material necessário
Cópias dos quadros deste encarte e das reportagens de NOVA ESCOLA sugeridas.

Desenvolvimento

1ª reunião: Sondagem inicial
Para iniciar a discussão sobre o que significa saber somar e subtrair, faça um levantamento de como os professores ensinam essas operações na escola. Forme grupos e debata com eles as afirmações abaixo. Os professores concordam com elas? Oriente-os a anotar suas opiniões e justificativas, para que sejam retomadas ao final do projeto, e veja os comentários.

2ª reunião: Estudo dos enunciados
Mantenha a organização em grupos e entregue para cada um a lista de problemas (use o quadro abaixo). Peça que estudem os enunciados, agrupem os que são parecidos e discutam os critérios utilizados. Todos devem apresentar e justificar a classificação, que deve ser anotada no quadro. Esse registro visa facilitar a visualização dos comentários e o debate entre os professores. Como fundamentação teórica, sugira a leitura do trecho dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) Operações com Números Naturais - Adição e Subtração: Significados, disponível em PDF no portal do Ministério da Educação (MEC).

3ª reunião: Diagnóstico dos conhecimentos
Nesta reunião, oriente os docentes a realizar um diagnóstico do que as crianças já sabem para resolver problemas de adição e subtração. Apresente o trecho sobre campo aditivo da reportagem Diagnóstico Inicial: Você Sabe o Que Eles Já Sabem?. Coloque em discussão a pertinência dos problemas propostos para as diferentes turmas, considerando as variáveis que interferem na complexidade deles: o tamanho dos números, se sãos redondos ou não, o conjunto numérico envolvido (naturais, inteiros, racionais...), o contexto do problema (figurinhas, dinheiro, quilômetros etc.) e a ordem e a apresentação das informações. No problema 1: "Pedro tinha 15 figurinhas em seu álbum. Ganhou algumas e agora tem 33. Quantas figurinhas ele ganhou?", a quantidade de figurinhas de Pedro sofre uma transformação positiva. O enunciado informa a quantidade inicial e final e é preciso encontrar o valor correspondente à transformação ocorrida. Embora os números envolvidos permitam o cálculo do dobro mais três, o que facilita a resolução, os problemas em que a pergunta recai sobre a transformação (positiva ou negativa) são mais complexos de resolver - muitas vezes, só é possível abordá-los no 2º ano do Ensino Fundamental. Já os problemas cujas perguntas se referem ao estado final têm menor dificuldade porque basta aplicar a transformação proposta ao estado inicial. Sendo assim, para o 1º ano, o problema poderia ser o seguinte: "Pedro tinha 15 figurinhas em seu álbum. Ganhou 5 de um amigo. Quantas figurinhas tem agora?" Depois de decididos quais tipos de problema serão trabalhados em cada ano, examine com o grupo o quadro Análise e Registro dos Resultados, apresentado na mesma reportagem citada acima. Oriente a turma para que, após observar a produção dos alunos, faça a tabulação das informações e reflita, considerando as seguintes questões: 
- Que estratégias os alunos utilizaram para resolver o problema? Quais chamaram sua atenção? Por quê? 
- As crianças resolveram os problemas conforme as suas expectativas? 
- O que você antecipou que de fato aconteceu? O que não aconteceu?

4ª reunião: Planejamento de atividade
Organize a apresentação do que foi observado na atividade diagnóstica em cada sala de aula. Sugira que os professores compartilhem a tabulação dos resultados de sua turma e destaquem duas ou três estratégias que apareceram com mais frequência ou que consideraram interessantes. Em seguida, faça a leitura da sequência didática apresentada abaixo. Peça que cada professor considere os conhecimentos de seus alunos, o desafio proposto pelos problemas e as intervenções que devem ser feitas no momento da discussão das estratégias. Com base nisso, cabe aos docentes montar um planejamento de como desenvolver essa atividade com as respectivas turmas.

Quantos cabem no metrô?
Sequência para trabalhar a comparação de grandezas em sala de aula

Objetivos
- Resolver problemas de adição e subtração relacionados à ideia de combinar e comparar.
- Observar que a mesma situação pode ser resolvida uando diferentes estratégias.
- Resolver a subtração como uma operação possível para solucionar questões que envolvem a ideia de completar.

Conteúdo
Comparação de grandezas.

Ano
3º ano

Material necessário
Cópia dos problemas sugeridos.

Desenvolvimento
1ª etapa
Resolução individual e em duplas
Proponha que as crianças resolvam individualmente a seguinte questão:

Problema 1
Em um vagão do metrô, cabem, em média, 250 pessoas. Na primeira estação, entraram 180 pessoas. Ainda podem entrar ____ pessoas. Organize a turma em duplas e proponha que todos comparem os procedimentos utilizados e identifiquem o mais conveniente. Muitos pensarão em quanto falta para chegar a 250 partindo de 180. Alguns poderão recorrer à contagem de dez em dez, a partir de 180, até 250. Outros ainda utilizarão resultados memorizados, como 180 + 20 = 200 e 200 + 50 = 250.

2ª etapa
Análise coletiva
Discuta as diferentes estratégias com a turma. Se as crianças ainda cometerem erros, analise com elas também esses procedimentos inadequados e peça que justifiquem por que eles não servem. Faça com que as duplas exponham as coincidências e as diferenças entre os procedimentos, com o objetivo de validar a estratégia de adição (completar), diferenciando-a da adição da parcela com o total.

3ª etapa
Uso da subtração
Para que a subtração apareça como um procedimento possível, use o problema a seguir, modificando os números, se necessário.

Problema 2
Complete a tabela
Demanda de passageiros por linha

a. Qual a média de passageiros nos dias úteis nas duas linhas?
b. Qual a média de passageiros aos sábados na linha vermelha?
c. Qual a média de passageiros aos domingos na linha azul?

Se os alunos não tiverem familiaridade com a leitura de tabelas, organize os dados de outra forma. Registre as estratégias utilizadas. Se ao discutir o item b) a adição se mantiver como único procedimento, pergunte se é possível resolver a situação com uma subtração ou comente que um aluno resolveu essa situação fazendo 1187-546. A estratégia está certa?

Avaliação
Retome a tabela da 4ª etapa e proponha que, em duplas, as crianças escrevam um texto explicando por que a subtração é uma conta possível para resolver o problema.

5ª reunião: Análise do livro didático
Boa parte dos livros de Matemática distingue os problemas de acordo com a operação utilizada para a solução: de um lado, os de adição e, de outro, os de subtração. Proponha que os docentes escolham uma dessas edições (pode ser a adotada na escola) e observem os seguintes aspectos: as operações propostas, os tipos de problema apresentados e a progressão dos desafios. Os professores devem construir um índice das páginas em que aparecem os problemas, considerando a complexidade de cada proposta, e prestar atenção no fato de que a dificuldade das questões não necessariamente está relacionada à operação aritmética solicitada por sua solução convencional.