3º módulo: Sistema de numeração
Formação de professores em Matemática
POR: GESTÃO ESCOLARO propósito deste terceiro módulo é que você, coordenador pedagógico, ajude os professores da sua escola a repensar as práticas de ensino do sistema de numeração com base na perspectiva da Didática da Matemática. Pesquisas realizadas sobre o tema deixam claro que os conhecimentos anteriores dos alunos e as hipóteses que eles formulam sobre o sistema é de fundamental importância para que o docente possa elaborar um planejamento afinado às necessidades de aprendizagem da classe.
Esse é o foco deste projeto, voltado aos professores do 1º ao 5º do Ensino Fundamental, que foi elaborado por Priscila Monteiro, formadora do Instituto Avisa Lá, em São Paulo, e selecionadora do Prêmio Victor Civita - Educador Nota 10.
Objetivo geral do programa de formação
Formar professores do 1º ao 5º ano para trabalhar com os principais conteúdos da Matemática previstos para o primeiro segmento do Ensino Fundamental.
Objetivos específicos do 3º módulo
- Conhecer as investigações a respeito da apropriação do sistema de numeração pelas crianças.
- Estabelecer uma relação entre o que os alunos sabem e as características do nosso sistema de numeração.
- Saber realizar um diagnóstico da classe sobre os conhecimentos relativos à escrita de números.
- Analisar sequências didáticas, projetos e outras situações sobre o conteúdo.
- Conhecer as hipóteses dos alunos para ajustar o planejamento.
Conteúdos
- Investigação didática e suas relações com o ensino do sistema de numeração decimal.
- Análise de situações didáticas que permitem explorar as regularidades.
Tempo estimado
Dois meses (quatro reuniões de duas horas cada uma).
Material necessário
Computador com acesso à internet, cópias dos quadros deste encarte, lápis e folhas em branco.
Desenvolvimento
Como preparação, leia o capítulo O sistema de Numeração: um Problema Didático, de Delia Lerner e Patrícia Sadovsky, do livro Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas (veja trecho na página 11A). Faça também um levantamento das atividades já realizadas pelos professores para ensinar o sistema de numeração.Como preparação, leia o capítulo O sistema de Numeração: um Problema Didático, de Delia Lerner e Patrícia Sadovsky, do livro Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas (veja trecho na página 11A). Faça também um levantamento das atividades já realizadas pelos professores para ensinar o sistema de numeração.
Peça que os docentes leiam previamente a reportagem Diagnóstico em Matemática: você sabe o que eles já sabem?, disponível na versão online desta edição. Por fim, prepare questões sobre o tema.
Inicie o encontro compartilhando ideias sobre a importância de realizar atividades que ajudem a conhecer o que as crianças sabem sobre os diferentes conteúdos. A reportagem recomendada sugere um ditado de números para averiguar os conhecimentos dos estudantes sobre a numeração escrita.
Proponha que os professores escolham dez números para ditar em classe considerando o que esperam observar. Exponha a lista de números selecionados pelo grupo e procure explicitar os critérios de escolha de cada um. Uma característica fundamental nessa seleção é a quantidade de algarismos. Mostre para o grupo que é importante ditar números que ainda não foram ensinados às crianças para ter acesso às hipóteses que elas têm sobre o sistema de numeração e sua escrita.
Outro aspecto a ser considerado é se o número é familiar ou não às crianças. É interessante ditar um número similar a 2011 (o ano em que estamos), por exemplo para observar se as crianças usam a escrita de um número "conhecido" para escrever um que não conhecem.
Os professores devem levar em conta a operação envolvida na numeração falada e na escrita. A denominação dos números supõe sempre uma operação aritmética, em alguns casos uma adição, como em 1.004, e em outros uma multiplicação, como em 600. Em muitos números, as operações aparecem combinadas: 3.600 significa 3 x 1000 + 6 x 100. A mudança da ordem das palavras ainda indica uma modificação na operação aritmética envolvida. Exemplo: mil e cem (1.100) e cem mil (100.000). Por fim, sugira que eles se reúnam em grupos, de acordo com o ano em que atuam, e planejem como desenvolver essa proposta em sala de aula.
Ao conhecer o que a classe pensa sobre o sistema de numeração, os docentes devem organizar uma tabulação, como a proposta na reportagem recomendada, e escrever um parágrafo sobre o que foi possível observar em relação aos conhecimentos dos alunos. Sugerimos que o coordenador pedagógico arquive uma cópia desses registros para que acompanhe a evolução dos estudantes ao longo do ano.
O sistema de numeração: um problema didático
Trecho do artigo de Delia Lerner e Patrícia Sadovsky, publicado no livro Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas
Ao analisar as notações produzidas pelas crianças em um ditado de números, a professora identifica que apenas um deles - o 653 - deu lugar a diferentes versões e decide, portanto, submetê-las a discussão no dia seguinte. A professora diz que encontrou quatro maneiras de anotar "seiscentos e cinquenta e três", as escreve no quadro negro - sem identificar os autores de cada versão - e solicita argumentos a favor ou contra as distintas escritas. As produções em questão são:
1. 60053
2. 653
3. 610053
4. 61053
Bárbara: A que está certa é esta (a segunda) porque quando é cento não leva dois zeros.
Jonathan: Sim, é essa. Mas quando um diz cento às vezes leva zero e outras não. Não sei quando leva zero ou não porque cento e um leva zero.
Vicki: Esta (a terceira) não pode ser porque cem é outro número e vem muito antes que seiscentos.
Jimena: Sim, é essa (a terceira) porque primeiro está o seis e depois o cento.
Julian: Não, não é, porque senão seiscentos e um seria 61001, seiscentos e dois seria 61002... A terceira é muito maior que seiscentos e cinquenta e três, porque tem mais números.
Brian: Esta (a terceira) é maior que esta (a quarta) porque tem um zero a mais.
Vicki (a Jimena): Para mim, é esta (a segunda). Não importa que a gente diga seiscentos. De qualquer jeito, não deve ter um cem escrito nesse número.
Brian: Os zeros estão a mais. Se quiser, você pode colocá-los na frente (00653).
Jonathan: Não, porque na frente não valem nada. (...)
2ª reunião
Análise das escritas
A ideia desse encontro é debater como os professores podem retomar com a classe as diferentes escritas produzidas no ditado. Sugira que eles assistam à animação Ditado de Números, que também está no nosso site, e levante as seguintes questões:
- Em que ideias as crianças se apoiam para escrever os números? O que elas sabem? n Qual a intenção da professora ao perguntar se há diferentes formas de escrever um número?
- Em qual informação ela se baseou para dizer que as crianças já sabem escrever o mil?
- Qual o objetivo da professora ao solicitar que uma criança escreva o mil no quadro? Que conflito ela espera que os alunos enfrentem?
Diga aos professores que, quando os alunos que escrevem 100050, 150 e 10050, fica claro que eles se baseiam nos conhecimentos que têm da numeração falada. Apenas uma delas já conhece a escrita convencional. Também é possível perceber que os alunos demonstram conhecer a escrita de números redondos, em especial o 100.
A professora sabe que elas escrevem 1000 convencionalmente. Ao pedir que comparem a escrita de 1000 com 10050, ela espera colocar em confronto o sentido numérico, pois os estudantes têm noção de que 1000 é mais do que 150 e que um número que tem maior quantidade de algarismos é maior - nessa escrita de 150, há seis algarismos e para 1000 utilizaram apenas quatro.
Complemente a discussão lendo para os docentes o trecho do artigo de Delia Lerner e Patrícia Sadovsky que voce já leu para a primeira reunião.
3ª reunião
Situações didáticas
A ideia é analisar com os professores uma atividade em torno da comparação e ordenação de escritas numéricas. Em um sistema de numeração posicional, a relação de ordem tem a ver diretamente com a organização do sistema.
Para mobilizar essa especificidade em sala de aula, o professor precisa propor situações que envolvam a comparação de números escritos e a posterior discussão sobre os critérios utilizados, como: "o primeiro (algarismo) manda", "o número que tem mais algarismos é maior". Sugerimos que você copie e distribua ao grupo a atividade proposta no quadro abaixo. Proponha que os professores resolvam os exercícios e reflitam sobre o que os alunos podem aprender com eles.
Escritas numéricas*
Como trabalhar em sala de aula números com três algarismos
Objetivo
Utilizar critérios apoiados nas regras do nosso sistema de numeração para comparar e ordenar números de até três algarismos.
Conteúdos
Comparação e ordenação de escritas numéricas.
Material necessário
Três cartões de 7 x 10 centímetros, com algarismos diferentes (por exemplo: 5, 8 e 1) e 12 cartões em branco para cada dupla de alunos.
Desenvolvimento
Embora muitas das situações propostas - sobretudo inicialmente - reproduzam contextos cotidianos nos quais ordenar números tem sentido, a contextualização nem sempre é imprescindível. A avidez das crianças por desvelar os mistérios que o sistema de numeração encerra faz dele um objeto digno de ser considerado por si só. É possível e produtivo, portanto, propor atividades centradas nos números, como nas situações a seguir.
Situação 1
Organize a turma em duplas e distribua os cartões numerados. Peça que eles montem números de dois ou três algarismos sem repeti-los e anotem cada um deles em um cartão em branco. As combinações podem chegar a 12, no máximo:
Em seguida, proponha que ordenem os números que formaram em ordem crescente. Ao permitir repetir os algarismos, a atividade se tornará mais complexa, visto que será possível formar e ordenar 36 números, em vez de 12. Depois que todas as duplas tiverem terminado a organização dos números criados, proponha que se reúnam em grupos de quatro e comparem se as ordenações que fizeram ficaram iguais.
Situação 2
a) Ainda em duplas, os alunos deverão decidir, agora, em que posição colocar o algarismo 1 em relação aos algarismos já escritos, de modo a formar o número de três algarismos mais alto possível.
b) Agora, sugira que as duplas experimentem com outros algarismos
c) Peça, então, que elaborem uma explicação para o que aconteceu e façam um registro da atividade.
d) Questione se a explicação continua válida caso estivesse escrito 23, em vez de 45 no exercício a).
e) Repita a pergunta anterior com outros números, como 19 ou 78.
Quando a maioria das crianças coloca em jogo critérios de comparação válidos para produzir ordenações, a discussão sobre a fundamentação pode avançar.
Vale a pena perguntar aos alunos por que o primeiro é o que manda e por que um número é maior quando ele tem mais algarismos. Muda então o eixo da discussão: já não se trata de recorrer aos critérios para fundamentar a ordenação. Agora é preciso buscar a fundamentação dos próprios critérios. Essa reflexão conduzirá a uma compreensão mais profunda da organização do sistema, ao promover que se estabeleça a relação entre os critérios elaborados e o valor de cada algarismo em termos de dezenas ou centenas. Quando se pede aos alunos que eles explorem a conceitualização, alguns se veem obrigados a explicitar relações que já utilizavam sem sabê-lo. Outros coordenam conhecimentos que possuíam, mas ainda não tinham relacionado e outros realizam uma descoberta só possível com essa discussão. Desse modo, afirmações como "não importa quais sejam os números; se tem três (algarismos) é maior, porque é dos 'cens' e estes são 'dezes'" e "precisa prestar atenção no primeiro porque assim é possível saber (em um número de dois algarismos) quantos 'dezes' tem" são conclusões comuns.
* Atividade adaptada do artigo Sistemas de Numeração - Um Problema Didático, de Delia Lerner e Patrícia Sadovsky, no livro Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas.
4ª reunião
Tematização da prática
Sugira aos professores que assistam aos vídeos Fita Métrica para Compreender o Sistema de Numeração Decimal e Transformando Números na Calculadora: Parte 1.
Na atividade proposta no primeiro vídeo, as crianças localizam em uma fita métrica todos os números terminados em 9 e anotam o que vem em seguida. Depois, elas refletem sobre as semelhanças. Essa atividade visa favorecer que as crianças se apropriem de uma regularidade e a utilize ao contar, escrever ou ler os números.
A análise de uma regularidade observável na notação numérica incide, por um lado, no progresso da escrita convencional e, por outro, contribui para o avanço da numeração falada. Sabemos que alguns estudantes do 1º ano, por exemplo, quando têm de passar à dezena seguinte, interrompem a contagem e pulam diretamente para qualquer dezena cujo nome conhecem. Estabelecer regularidades em relação à série escrita consiste em um recurso para favorecer a contagem oral.
No segundo vídeo, a calculadora é utilizada como um instrumento de reflexão sobre a estrutura aditiva da numeração falada e sua relação com as regras da numeração escrita. Para transformar 457 em 407, inicialmente muitas crianças subtraem o 7, mas descartam rápido essa solução, pois o resultado é diferente do buscado.
A calculadora é um instrumento valioso para a realização dessa atividade, pois possibilita que o aluno identifique quando está certo ou errado, corrija sozinho os erros e comece a pensar em uma regra que permita antecipar a operação.
Depois da exibição dos vídeos, proponha as seguintes perguntas:
- Qual o conteúdo envolvido em cada proposta?
- Que conhecimentos foram colocados em ação pelas crianças?
- O que elas aprenderam durante as atividades?
- Que aspectos da situação foram fundamentais para que essas aprendizagens ocorressem?
Quer saber mais?
BIBLIOGRAFIA
Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas, Cecília Parra e Irma Saiz (orgs.), 258 págs., Ed.Artmed, 0800-703-3444, 51 reais